Bro­dy Building

Lese­zeit8 min
  • Kapi­ta­lis­ti­sche Wirt­schaf­ten las­sen sich durch Input-Out­put-Matri­zen/­Le­on­tieffma­tri­zen ana­ly­sie­ren. Plan­wirt­schaf­ten las­sen sich durch sie planen.
  • Die Lösung für Gleich­ge­wichts­zu­stän­de, in denen genau­so viel pro­du­ziert wie kon­su­miert wird, kann aller­dings sehr kom­plex werden.
  • Andras Bro­dy ver­mu­te­te 1997, dass für zufäl­lig erstell­te IO-Matri­zen die Lösung mit der Matri­zen­grö­ße ein­fa­cher wird.
  • Drei Öko­no­men haben in der Eco­no­mic Sys­tems Rese­arch unter­sucht, ob Bro­dys Ver­mu­tung für rea­le Wirt­schafts­da­ten zutrifft.
  • Sie zeig­ten, dass dies nicht der Fall ist, aber es den­noch vie­le inter­es­san­te Impli­ka­tio­nen, z. B. für das Trans­for­ma­ti­ons­pro­blem, gibt.

Die Wun­der­welt der Mathe­ma­tik hält eini­ges an Magie bereit. So kann es manch­mal kom­men, dass ein Pro­blem umso ein­fa­cher zu lösen ist, je kom­ple­xer es wird. Das klingt ver­lo­ckend. Noch ver­lo­cken­der klingt es, wenn sich die­ses Prin­zip auf die Berech­nung von Volks­wirt­schaf­ten erstre­cken lässt. Schließ­lich wird die Kom­ple­xi­tät moder­ner Öko­no­mien ger­ne als Gegen­ar­gu­ment gegen eine Plan­wirt­schaft ins Feld geführt. Bro­dys Ver­mu­tung von 1997 sagt aber genau dies aus: Der Gleich­ge­wichts­zu­stand einer Leon­tieff-Matrix, also eines rie­si­gen Zah­len­pa­ke­tes, das sämt­li­che Pro­duk­ti­on und Kon­sum­ti­on einer Gesell­schaft auf­lis­tet, ist umso leich­ter zu berech­nen, je grö­ßer die Matrix ist.

In der Theo­rie ist Bro­dys Ver­mu­tung bereits mehr­fach bewie­sen wor­den. Empi­risch wur­den eini­ge weni­ge Daten­sät­ze unter­sucht; mit eher nega­ti­vem Ergeb­nis. Daher haben Anwar Shaikh, Lui­za Nas­sif-Pires und José Ale­jan­dro Coro­na­do in der aktu­el­len Eco­no­mic Sys­tems Rese­arch über 300 Matri­zen aus rea­len Wirt­schafts­da­ten unter­sucht. Was sie her­aus­ge­fun­den haben und was Bro­dys Ver­mu­tung für das Trans­for­ma­ti­ons­pro­blem bedeu­tet, dar­über gibt der fol­gen­de Arti­kel Auskunft.

Das Pro­blem

Eine Volks­wirt­schaft lässt sich in Form gro­ßer Input-Out­put-Matri­zen (nähe­res hier) erfas­sen, wel­che dar­stel­len, wie sich die Ver­än­de­rung des Bedarfs eines Betrie­bes auf die gesam­te rest­li­che Volks­wirt­schaft aus­wirkt. Mit Hil­fe sol­cher Matri­zen lässt sich auch die benö­tig­te Arbeits­zeit, sowie Roh­stof­fe für eine sozia­lis­ti­sche Plan­wirt­schaft berech­nen. Es gibt Gleich­ge­wichts­zu­stän­de, in wel­cher der Bedarf aller Konsument*innen und Betrie­be durch die auf­ge­wand­te Arbeits­zeit und Pro­duk­ti­on genau gedeckt ist. Die­ser Zustand ist opti­mal, schließ­lich wol­len wir weder zu wenig, noch zu viel pro­du­zie­ren. Pro­ble­me ent­ste­hen bei Ände­run­gen der­Pro­duk­ti­ons­wei­se. Da in moder­nen Volks­wirt­schaf­ten sehr vie­le Betrie­be an der Her­stel­lung eines ein­zi­gen Pro­duk­tes betei­ligt sind, wirkt sich eine Ände­rung in einem Betrieb auch auf sehr vie­le ande­re Betrie­be aus. Und nicht nur das. Auch der Betrieb, von dem die ursprüng­li­che Ände­rung aus­ging, kann über eine Ket­te von Zusam­men­hän­gen, selbst noch­mal betrof­fen sein. Ein Beispiel:

Eige­ne Abbildung

Der neue Gleich­ge­wichts­zu­stand muss über ein stu­fen­wei­ses Nähe­rungs­ver­fah­ren, ein so genann­tes ite­ra­ti­ves Ver­fah­ren gefun­den wer­den. Dafür gibt es ver­schie­dens­te mathe­ma­ti­sche Wege. Die Fra­ge ist nur, ob die Daten­men­gen einer Volks­wirt­schaft nicht die Rechen­leis­tung selbst moderns­ter Rech­ner übersteigen.

Bro­dys Vermutung

Je kom­ple­xer eine Wirt­schaft, umso schwe­rer müss­te ein neu­er Gleich­ge­wichts­zu­stand zu fin­den sein. Das leuch­tet ein. Dass es sich aber genau umge­kehrt ver­hal­ten könn­te, hat 1997 Andras Bro­dy in einem auf­se­hen­er­re­gen­den Dos­sier her­aus­ge­fun­den. Andras Bro­dy (1924 – 2010) war ein unga­ri­scher mar­xis­ti­scher Öko­nom. Sein 1970 erschie­ne­nes Buch Pro­por­ti­on, Pri­ces and Plan­ning wur­de welt­weit gele­sen und gilt als das Werk, dass die mar­xis­ti­sche Kri­tik der poli­ti­schen Öko­no­mie am bes­ten in die mathe­ma­ti­sche Spra­che der Input-Out­put-Matri­zen übersetzte.

Bro­dy tes­te­te 1997 zufäl­lig erstell­te IO-Matri­zen und fand her­aus, dass die Anzahl der benö­tig­ten Ite­ra­ti­ons­schrit­te, um den Gleich­ge­wichts­zu­stand einer Volks­wirt­schaft mit n Betrie­ben auf die vier­te Nach­kom­ma­stel­le genau zu berech­nen, um n-0,5 abnimmt.

Um es kurz aus­führ­li­cher zu erklä­ren: Ein Input-Out­put-Matrix besteht aus einer Ver­flech­tungs­ma­trix (die angibt, wel­cher Betrieb für wel­chen pro­du­ziert), einem Kon­sum- und einem Pro­duk­ti­ons­vek­tor. Die Matrix soll ein geschlos­se­nes Sys­tem dar­stel­len, das heißt: Alles was pro­du­ziert wird, wird auch von ande­ren Betrie­ben oder den Konsument*innen kon­su­miert. Ändert sich nun in in der Nach­fra­ge oder in der Veflech­tungs­ma­trix ein Ele­ment, muss das gan­ze Sys­tem so neu berech­net wer­den, dass erneut ein geschlos­se­nes Sys­tem her­aus­kommt. Dafür gibt es ein mathe­ma­ti­sches Ver­fah­ren, bei dem ein lan­ges Poly­nom, also eine rie­si­ge Sum­me der Form:

Aus­ge­rech­net wer­den muss, und zwar immer wie­der neu, bis sich das Ergeb­nis nicht mehr ändert und ein Gleich­ge­wichts­zu­stand erreicht ist. Die Zei­chen l ste­hen dabei für Koef­fi­zi­en­ten, die nach Grö­ße geord­ne­ten wer­den, sodass der Betrieb x, der am stärks­ten von der Ände­rung betrof­fen ist ganz vor­ne steht.

Andras Bro­dy hat nun gezeigt, dass l2 umso klei­ner im Ver­gleich zu l1 wird, je grö­ßer die Gesamt­ma­trix ist. Geht die Grö­ße der Matrix gegen unend­lich, dann geht l2 gegen 0 und nur der ers­te Sum­mand auf der rech­ten Sei­te der Glei­chung bleibt übrig. Da n für die Anzahl aller Betrie­be steht, die Sum­me also zehn­tau­sen­de von Sum­man­den umfas­sen wür­de, wird klar, um wie­viel ein­fa­cher die Glei­chung wird. Um ein klei­nes Zah­len­bei­spiel zu nen­nen: Bei der Berech­nung einer 3×3‑Matrix benö­tigt man 6 Ite­ra­tio­nen, um eine Lösung zu fin­den, die auf die vier­te Nach­kom­ma­stel­le genau ist. Bei einer 6×6‑Matrix ist es nur noch einer. Volks­wirt­schaf­ten um fas­sen zehn­tau­sen­de n.

Wich­tig zu sagen ist, dass rein mathe­ma­tisch Bro­dys Ver­mu­tung für zufäl­li­ge Matri­zen bes­tens bewie­sen ist. Selbst für Wer­te, die einer Wahr­schein­lich­keits­ver­tei­lung gehor­chen, konn­te die Kor­rekt­heit bereits auf­ge­zeigt werden.

Die Stu­die

Bro­dys Erkennt­nis hat nur einen Haken: Er hat nur zufäl­lig kon­stru­ier­te Matri­zen unter­sucht. Rea­le Leon­tieff-Matri­zen, die ech­te Volks­wirt­schaf­ten abbil­den, sind jedoch nicht zufäl­lig. Es könn­te sein, dass die inne­re Struk­tur einer Öko­no­mie dazu führt, dass Bro­dys Ver­mu­tung nicht mehr gilt. Genau das unter­such­ten Anwar Shaikh, Lui­za Nas­sif-Pires und José Ale­jan­dro Coro­na­do. Dafür ana­ly­sier­ten sie 307 Leon­tieff-Matri­zen aus einem Zeit­raum 30 Jah­ren. Und sie müs­sen lei­der Was­ser in den Wein gie­ßen. Fast kei­ne Vor­her­sa­ge von Bro­dys Ver­mu­tung ließ sich an den empi­ri­schen Daten bestätigen.

Da nach Bro­dy nur der ers­te Koef­fi­zi­ent l1 einen hohen Wert haben soll­te, alle ande­ren Koef­fi­zi­en­ten jedoch gegen 0 gehen soll­ten, müss­te das theo­re­ti­sche Dia­gramm aus­se­hen, wie ein gekipp­tes L. In den empi­ri­schen Wer­ten hat sich jedoch gezeigt, dass die Wer­te der Koef­fi­zi­en­ten mit Matri­zen­grö­ße zwar sin­ken. Aber weder gehen sie gegen 0, noch fal­len sie so scharf ab, wie nach Bro­dys Ver­mu­tung zu erwar­ten gewe­sen wäre. Die Schluss­fol­ge­rung: Rea­le Vol­sk­wirt­schaf­ten unter­schei­den sich offen­sicht­lich erheb­lich von zufäl­lig erstell­ten Daten­set­zen. Auf Grund impli­zi­ter Struk­tu­ren stellt sich die Lösung für die Leon­tieffma­tri­zen also lei­der nicht so leicht dar, wie von Bro­dy angenommen.

Doch auch die­ser Aber hat ein Aber: Die Lösung des Eigen­wert­pro­blems, also des Gleich­ge­wichts­zu­stan­des der Leon­tieffma­trix, hängt stark von der Art der Daten­er­fas­sung ab. Da alle unter­such­ten Matri­zen nur Aggre­ga­te ande­rer Wirt­schafts­da­ten und klei­ne­rer Matri­zen sind, könn­te dies das Ergeb­nis nega­tiv ver­fäl­schen. Da in einer Plan­wirt­schaft Daten unmit­tel­bar auf­ge­nom­men und ver­ar­bei­tet wer­den, käme das Pro­blem viel­leicht wie­der näher an die Aus­gangs­vor­aus­set­zung für Bro­dys Ver­mu­tung her­an, als die unter­such­ten Datensätze.

Bro­dys Ver­mu­tung und das Transformationsproblem

Die Autoren der Stu­die beleuch­ten noch einen sehr inter­es­san­ten Aspekt. Soll­te Bro­dys Ver­mu­tung zutref­fen, bedeu­te­te dies auch, dass Mar­xens Berech­nung der Prei­se über die Durch­schnitts­pro­fi­tra­te exakt rich­tig wäre. Damit wäre die Arbeits­wert­leh­re bestä­tigt und das Trans­for­ma­ti­ons­pro­blem gelöst.

Zur Erin­ne­rung: Das Trans­for­ma­ti­ons­pro­blem (nähe­res hier) ist die Fra­ge, wie Waren als Ver­ge­gen­ständ­li­chung mensch­li­cher Arbeit in Prei­se umge­rech­net wer­den. Mathe­ma­tisch for­mu­liert lau­tet die Fra­ge, ob sich ein Glei­chungs­sys­tem fin­den lässt, mit dem sich die Trans­for­ma­ti­on von Wer­ten in Prei­se berech­nen lässt. Da in jeder Glei­chung ein­mal die Arbeits­zeit, ein­mal der Preis und in allen die Durch­schnitts­pro­fi­tra­te vor­kommt, gibt es immer eine Unbe­kann­te zu viel, um das Glei­chungs­sys­tem exakt zu lösen. Es müs­sen also Knif­fe und Wege gefun­den wer­den, eine Unbe­kann­te zu beseitigen.

Nach Bro­dys Ver­mu­tung hät­ten sich bei hin­rei­chend gro­ßen Leon­tieffma­tri­zen die Lösun­gen sowohl für die Arbeits­zei­ten als auch für die Arbeits­wer­te als ein­fa­che linea­re Funk­tio­nen in Abhän­gig­keit der Durch­schnitts­pro­fi­tra­te dar­stel­len las­sen. Die Fol­ge: Die Lohn-Pro­fit-Kur­ven wären eben­falls line­ar. Als Kri­tik an der Marx­schen Metho­de pos­tu­lier­te der bekann­te Öko­nom Pie­ro Sraf­fa aber kur­vi­ge Lohn-Pro­fit-Kur­ven. Die Empi­rie gibt kei­nem von bei­den so rich­tig Recht. Auch wenn sich Bro­dys Ver­mu­tung letzt­end­lich nicht bestä­tig­te, waren den­noch die Lohn-Pro­fit-Kur­ven annä­hernd line­ar, sodass man einen star­ken Case für die Marx­sche Umrech­nung machen kann.

Auch auf die Gefahr hin, etwas zu viel Rea­lis­mus in die abs­trak­ten mathe­ma­ti­schen Model­le hin­ein­zu­in­ter­pre­tie­ren, könn­te man his­to­risch-mate­ria­lis­tisch argu­men­tie­ren: Die Trans­for­ma­ti­on der Wer­te und Prei­se fer­tig­te Marx für eine kapi­ta­lis­ti­schen Gesell­schaft in ihrem ideel­len Durch­schnitt an. Das bedeu­tet: kein Sek­tor domi­niert und die Grö­ßen der Kapi­ta­le sind zufäl­lig ver­teilt, so wie es die Vor­aus­set­zung für Bro­dys Ver­mu­tung ist. Für eine frü­he libe­ra­le Markt­wirt­schaft ist das viel­leicht auch wirk­lich ein zutref­fen­des Modell. Je mehr impli­zi­te Struk­tu­ren es jedoch in einer Wirt­schaft gibt – Leit­sek­to­ren, Domi­n­an­zen, Ren­ten, etc. – des­to mehr weicht eine Wirt­schaft von Bro­dys Prä­mis­sen auch real ab, des­to mehr Ite­ra­tio­nen benö­tigt man, um ange­mes­se­ne Prei­se zu erhal­ten und des­to schlech­ter funk­tio­niert Mar­xens Trans­for­ma­ti­ons­an­satz. Somit könn­te die all­ge­mei­ne Durch­schnitts­pro­fi­tra­te und ihr Wir­ken nicht mehr so leicht für den Staats­mo­no­pol­ka­pi­ta­lis­mus oder impe­ria­lis­ti­sche Mäch­te empi­risch fest­ge­stellt wer­den. Je hier­ar­chi­scher, poli­tisch durch­drun­ge­ner und unglei­cher eine Öko­no­mie ist, des­to weni­ger wer­den Waren über ihre Arbeits­wer­te defi­niert. Das macht durch­aus Sinn, wenn wir uns die bei­den Bei­spiel für extrem unli­be­ra­le Öko­no­mien zur Hand neh­men. In einer Mono­pol­wirt­schaft kann der Mono­po­list die Prei­se sehr belie­big unab­hän­gig von der ver­ge­gen­ständ­lich­ten Arbeit fest­le­gen. In einer Plan­wirt­schaft, die kom­plett ohne Pro­fi­te aus­kommt, ent­fällt die Trans­for­ma­ti­on über die Durch­schnitts­pro­fi­tra­te ohne­hin voll­stän­dig. Kurz: Die Marx­sche Trans­for­ma­ti­on von Wer­ten in Prei­se ist also nicht prin­zi­pi­ell rich­tig oder falsch, son­dern ihre Taug­lich­keit hängt von der Gestalt der Öko­no­mie selbst ab.

Zusam­men­fas­sung

Wäh­rend Bro­dys Ver­mu­tung für zufäl­li­ge Matri­zen mathe­ma­tisch zwei­fels­frei bewie­sen ist, haben Shaikh, Nas­sif-Pires und Coro­na­do unter Zuhil­fe­nah­me sehr gro­ßer Daten­sät­ze auf­ge­zeigt, dass sie für rea­le Volks­wirt­schaf­ten nicht zutrifft. Das heißt nicht, dass sie auf eine sinn­vol­le Genau­ig­keit nicht kom­plet­te Volks­wirt­schaf­ten mit Hil­fe moder­ner Com­pu­ter berech­nen lie­ßen, es ist nur nicht ganz so schön ein­fach. Jedoch liegt das Pro­blem nicht allein am Unter­schied zwi­schen Theo­rie und Pra­xis, son­dern an der Struk­tur der jewei­li­gen Ökonomie.

Bli­cken wir in die revo­lu­tio­nä­re Zukunft, könn­te man es so for­mu­lie­ren: Es ist gar­nicht von Vor­teil für die Berech­nung einer Plan­wirt­schaft, die­se in gro­ßen Kom­bi­na­ten zu orga­ni­sie­ren. Die­se impli­zi­ten Struk­tu­ren ver­hin­dern eher schnel­le Lösun­gen der Input-Out­put-Matri­zen. Eine klein­tei­li­ge, ver­teil­te und aus­ba­lan­cier­te Öko­no­mie könn­te den Arbeiter*innen nicht nur mehr Ein­fluss bei der Gestal­tung der kon­kre­ten Arbeits­pro­zes­se im Betrieg schaf­fen, son­dern sogar die Arbeit der Gesamt­pla­nung erleichtern.

Lite­ra­tur:

Bro­dy, A. (1970): Pro­por­ti­ons, Pri­ces and Plan­ning. A Mathe­ma­ti­cal Restate­ment of the Labor Theo­ry of Value. Ams­ter­dam, Lon­don: North Holland.

Bro­dy, A. (1997): The Second Eigenva­lue of the Leon­tief Matrix. In: Eco­no­mic Sys­tems Rese­arch. Jahr­gang 9. Aus­ga­be 3. S.253 – 259.

Shaikh, A., Nas­sif-Pires, L. & Coro­na­do, J. (2022): A new Empi­ri­cal Con­tri­bu­ti­on to an old theo­re­ti­cal Puz­zle: What Input – Out­put Matrix Pro­per­ties tells us about Equi­li­bri­um Pri­ces and Quan­ti­ties. In: Eco­no­mic Sys­tems Rese­arch. Online First: 2. Sep­tem­ber 2022. DOI: 10.1080/09535314.2022.2106418

Zuerst erschie­nen bei Spec­trum of Com­mu­nism unter einer CC4.0‑BY-NC-Lizenz

Bild: Bro­dy bei der Arbeit im Verlagshaus

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert